Historias da escola: PRODUTOS NOTÁVEIS

Quadrado da soma de dois termos[editar]

$(a+b)^2= a^2+2ab+b^2.$

Regra básica: Quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.2

Prova: $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^2 + ab + ab + b^2=a^2+2ab+b^2$

Exemplos:
1. $\left( \frac{4x}{5y}+z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}+\frac{8xz}{5yz}+z^2$
2. $(8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2$

Quadrado da diferença de dois termos[editar]

A expressão se diferencia do quadrado da soma apenas pelo sinal da segunda parcela:

Regra básica: Quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

$(a - b)^2 = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = a^2 -ab - ab + b^2= a^2-2ab+b^2$

Exemplos:
1. $\left( \frac{3m}{4n}-p \right )^2=\frac{9m^2}{16n^2}-\frac{3mp}{2n}+p^2$
2. $(1-2x)^2=1-4x+4x^2$

Produto da soma pela diferença de dois termos [editar]

$(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - ab + ab - b^2=a^2 +ab \cdot (1-1) - b^2=a^2-b^2$

Regra básica: Quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo

Exemplos:
1. $(a^2+b^3) \cdot (a^2-b^3)=a^4-a^2b^3+a^2b^3-b^6=a^4+a^2b^3 \cdot (1-1)-b^6=a^4-b^6$
2. $\left( \frac{a}{x}+2 \right ).\left( \frac{a}{x}-2 \right )=\frac{a^2}{x^2}-\frac{2a}{x}+\frac{2a}{x}-4=\frac{a^2}{x^2}+\frac{2a \cdot (1-1)}{x}-4=\frac{a^2}{x^2}-4$

Cubo da diferença de dois termos [editar]

$(a - b)^3=(a - b) \cdot (a - b)^2$

$= (a - b) \cdot (a^2 - 2ab + b^2)$

$= a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$

$= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Regra básica: Para calcular o cubo da diferença faça: O cubo do 1° termo, menos 3 vezes o produto do quadrado do 1° termo pelo segundo, mais 3 vezes o produto do 1° termo pelo quadrado do 2° termo, menos o cubo do 2° termo.

Exemplos:
1. $(b-2c)^3=b^3-6b^2c+12bc^2-8c^3$
2. $\left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}$
3. $(1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3$

Cubo da soma de dois termos[editar]

Decomposição volumétrica do binômio ao cubo

O cubo da soma de dois termos se diferencia do cubo da diferença apenas pelos sinais Regra básica: É o cubo do 1° termo, mais 3 vezes o produto do quadrado do 1°termo pelo segundo, mais 3 vezes o produto do 1° termo pelo quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo. $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$